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【統計学】 母集団・標本・期待値メモ

標本平均 \bar{x}の期待値は, 母平均 \mu に等しい.
 E(\bar{x}) = E(\frac{x_1+ ... + x_n}{n}) = \frac{1}{n} * (E(x_1 + ... + x_n))
 x1, ... , x_nは同一母集団の変数より, 全て \mu
よって,  E(\bar{x}) = \frac{1}{n}*n\mu = \mu


標本平均の分散 V(\bar{X}) は, 母分散の \frac{1}{n} \frac{\sigma^2}{n}に等しい.
 
\begin{equation*}
\begin{split}
V(\bar{x}) &= V(\frac{x_1 + ... + x_n}{n})\\
&= \frac{V(x_1+ ... + x_n)}{n^2}(\because V(cX) = c^2V(X))\\
&= \frac{V(x_1) + .. + V(x_n)}{n^2}(\because V(x\pm y) = V(x) \pm V(y))\\
&= \frac{n\sigma^2}{n^2}\\
&=\frac{\sigma^2}{n}
\end{split}
\end{equation*}