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【統計学】 z分布(標準正規分布)

N(0, 1) の正規分布を標準正規分布という.
これは正規分布の密度関数の変数xを z = \frac{x-\mu}{\sigma}で変換(標準化, 基準化)した形.

 N(\mu, \sigma^2) N(0, 1^2)のz分布に変換することによって, どのような確率自称に対しても, 複雑な計算結果を一覧表にした付録の数表(確率分布表) を使って,
簡単に正規分布の確率が求められるようになっている.
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図:z分布表の見方
表のz=1.96は信頼度95%における上側確率についてのz値を表している.

z分布の使いみち

  • 標準偏差 \sigmaが既知のときの検定, 推定
  • 標準偏差 \sigmaが未知だが, 大標本のときの検定, 推定

2番目の根拠は中心極限値定理である.
すなわち母集団分布が正規分布であろうが, 正規分布じゃない分布であろうが, 和 X_1 + X_2 + ... + X_nの確率分布の形は, nが大きいときにはほぼ正規分布とみなして良いという定理から来ている.
サンプル数nが大きいとき
 S_n = X_1 + .... + X_n  N(n\mu, n\sigma^2)
 \bar{x} = \frac{X_1 + .. + X_n}{n} N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})に従う.