(曲線, 曲面) の法線と接線

機械学習をやる上で重要な線形代数学と微分のお話.

多次元の曲線に関するベクトルの計算を導入する.
厳密な説明ではないので, 簡単な二次元の例から多次元へと拡張していく.

曲線の法線ベクトル

曲線


の座標(a, b) における法線ベクトルが

であることを示す.
まず座標(a, b)は曲線f(x, y) = 0上の点なので

次に, 座標(a, b)から(Δx, Δy)動かしたときの曲線上の点(a+Δx, b+Δy)において, この点は曲線上にあるので

二変数のTaylor展開より,

ここで(a, b), (a+Δx, b+Δy)は曲線f上の点なので

であった.
また, Taylor展開の式に代入して,

ここで,


と定義すると,
Taylor展開の式は,

と更に書き直せる.
ここで, ... の部分は, Δx, Δy の二次以上の項なので, Δx, Δyを小さくしていくとO(n^2)で0に収束していく. すると,

これは, 内積が0であることを表している. 内積が0ということは, 2つのベクトルが直交しているということである. すなわち, ∇f(a, b)は, Δxの法線ベクトルであることを表している.
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法線ベクトルの図

曲線の接線

先程は, 曲面に対する法線を考えたが, 今度は接線を考える.


について法線ベクトルは,

また求める接線の方向ベクトルは(x-a, y-b)^Tである. したがって, 法線ベクトルと, 方向ベクトルが直交しているということを表したものが接線の式である. すなわち

ただし,

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曲線の接線

曲面の法線ベクトル

次に3次元上の空間を考える.
f(x, y, z) = 0の曲面において, (a, b, c)における法線ベクトルを考える.
まず(a, b, c)は曲面上にあるので,


(a, b, c)から少しずらした点(a+Δx, b+Δy, c+Δz)も曲面上にあるので,

これをTaylor展開すると,

となり曲線(2次元)と同様に, 最終的に

という式が導ける.
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曲面の法線ベクトル

曲面の接平面


について, 法線ベクトルは∇f(a, b, c) = (A, B, C)^T
また方向ベクトルは(x-a, y-b, c-z)なので, これらが直交する式が接平面の式である.
よって,

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曲面の接平面


このようにしてp次元空間においても, 法線ベクトルをp変数におけるTaylor展開で求めてから, (p-1)次元の接超平面を求めていけば, 多次元空間に拡張していけそうだ.